Elektrotechnik – 6. Wechselstrom III

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Elektrotechnik – Straub

6. Wechselstrom

  1. Grundlegende Begriffe und Kennwerte
  2. Komplexe Wechselstromrechnung
  3. Wechselstromwiderstände (Impedanz, Admittanz)
  4. Grundschaltungen
  5. Leistung (Wirk-, Blind-, Scheinleistung)
  6. Blindleistungskompensation
  7. Resonanz und Frequenzverhalten
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Rückblick: Leistung an R, L und C

Am Widerstand R: — Energie wird verbraucht,

An C und L: — Energie pendelt,

In der Praxis: Kombinationen aus R, L, C mit beliebiger Phasenverschiebung (Motor: –; Netzteil: R-C)

Frage: Wie berechnet man die Leistung bei beliebigem ?

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Momentanleistung mit Phasenverschiebung

Mit trigonometrischer Umformung und Effektivwerten , :

  • Die Leistung oszilliert mit doppelter Frequenz
  • Ein konstanter Anteil (wird verbraucht) + ein pendelnder Anteil (Mittelwert 0)
  • in Teilen der Periode: Energie fließt kurzzeitig zurück zur Quelle
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Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Wirkleistung (Mittelwert, tatsächlich umgesetzt):

Blindleistung (pendelnder Energiefluss):

Scheinleistung (Netzbelastung, Dimensionierung!):

Vorzeichen von : induktiv positiv, kapazitiv negativ.

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Blindleistung: Praktische Bedeutung

Blindleistung trägt nicht zur nutzbaren Leistung bei, belastet aber das Netz:

  • Höhere Ströme in Leitungen und Transformatoren
  • Erhöhte Verluste:
  • Spannungsabfälle im Netz

Beispiel Transformator mit :
bei liefert er nur — voll ausgelastet, aber 30 % „verschenkt".

Konsequenz: Industriekunden zahlen Strafgebühren bei .

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Komplexe Scheinleistung: Motivation

Naiver Ansatz: — die Phasen addieren sich → falsch!

Wir brauchen die Differenz .

Lösung: konjugiert komplexer Strom

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Definition der komplexen Scheinleistung

  • Betrag:
  • Phase:

Alternative Darstellungen:

Beispiel RL-Reihenschaltung: — Realteil = Wirkleistung an R, Imaginärteil = Blindleistung an L. Am Vorzeichen von erkennt man die Impedanzcharakteristik (+ induktiv, − kapazitiv)!

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Leistungsdreieck

Das Leistungsdreieck visualisiert den Zusammenhang:

  • Wirkleistung:
  • Blindleistung:
  • Scheinleistung:
  • Phasenwinkel:

Beispiel Industriebetrieb: , → , — der Trafo muss für 1000 kVA ausgelegt sein!

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Leistungsfaktor cos φ

Verbraucher cos φ Bemerkung
Glühbirne, Heizung ≈ 1,0 rein ohmsch
Motor ohne Last ≈ 0,3 viel Magnetisierung
Motor Volllast ≈ 0,85 besser, aber nicht ideal
Transformator ≈ 0,8–0,9 Streuinduktivität
Modernes Netzteil (PFC) > 0,95 mit Kompensation

Energieversorger fordern : wegen fließt bei statt für dieselbe Wirkleistung 36 % mehr Strom ().

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Blindleistungskompensation

Problem bei induktiven Verbrauchern (Motoren, Trafos): , niedriger , hohe Ströme, Strafzahlungen.

Lösung: Kondensatoren parallel schalten — kompensiert :

(: vorher, : Ziel; vollständige Kompensation: )

Warum parallel? Damit die Spannung am Verbraucher — und damit seine Wirkleistung — unverändert bleibt!

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Kompensation: Praxisbeispiel

Betrieb: , (),

Vorher: , ,

Kompensation auf :

Nachher: ,

  • Strom: −20 %, Leitungsverluste (): −36 %, keine Strafzahlungen
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📝 Aufgabe 20: Leuchtstoffröhre

Eine Leuchtstoffröhre mit Vorschaltdrossel (= Reihenschaltung aus und ; , ) liegt am Netz (, ).

a) Wie hoch ist die Scheinleistung ? Wie groß ist ?
b) Wie groß sind und ?
c) Ein Kondensator soll die gesamte Blindleistung kompensieren. Wie muss er geschaltet werden (Begründung)?
d) Berechnen Sie .
e) Veranschaulichen Sie die Kompensation im Zeigerdiagramm.

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Resonanz: Der Serienschwingkreis

Reihenschaltung aus R, L und C:

Bei der Resonanzfrequenz heben sich und auf:

Bei :

  • — rein reell, minimal → Strom maximal
  • Der Zweipol nimmt nur Wirkleistung auf ()
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Resonanz: Der Parallelschwingkreis

L und C parallel (ggf. mit R):

Bei :

  • minimal → maximal, rein reell
  • Strom von außen minimal — L und C tauschen ihre Energie untereinander aus (Kreisstrom!)

Serienresonanz: minimal • Parallelresonanz: maximal — beide: reell,

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Impedanzcharakteristik

Wie „verhält sich" ein Zweipol bei gegebener Frequenz?

  • (bzw. , ): induktiv
  • : kapazitiv
  • : reell — Resonanzfall (oder rein ohmsch)

Beispiel Serienschwingkreis:

  • : → kapazitiv
  • : → induktiv

Zur Begründung genügt immer das Vorzeichen von (oder ).

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Frequenzverhalten: Die Grenzfälle ω → 0 und ω → ∞

Mächtige Kontrolltechnik: ersetze die Blindelemente durch ihre Grenzfälle —

(Gleichstrom)
Kondensator () Unterbrechung () Kurzschluss ()
Spule () Kurzschluss () Unterbrechung ()

Vorgehen: Schaltung zweimal neu zeichnen (einmal pro Grenzfall), Blindelemente ersetzen, Verhalten ablesen.

So erklärt man die Filterwirkung einer Schaltung: Was passiert mit dem Ausgangssignal bei tiefen/hohen Frequenzen? (Tiefpass, Hochpass, ...)

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📝 Aufgabe 21: Resonanz & Grenzfälle

Ein Serienschwingkreis besteht aus , , .

a) Bei welcher Kreisfrequenz (und Frequenz ) nimmt die Schaltung nur Wirkleistung auf?
b) Wie groß ist bei ?
c) Welche Impedanzcharakteristik hat die Schaltung bei ? (Begründung!)
d) Geben Sie für und an. Was macht diese Schaltung mit sehr langsamen und sehr schnellen Signalen?

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📝 Klausuraufgabe: Zweipol

(komplexer Effektivwert); , . Bei nimmt die Schaltung auf. ( ist nicht gegeben — Sie brauchen es nicht!)

a) Berechnen Sie . Welche Impedanzcharakteristik liegt vor (Begründung)?
b) Berechnen Sie und .
c) Berechnen Sie , dann und , dann .
d) Zeichnen Sie , , , , als Effektivwertzeiger.
e) Geben Sie , und an.
f) Bei nimmt der Zweipol nur Wirkleistung auf — wie heißt dieser Arbeitspunkt? Geben Sie für und an.

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Zusammenfassung: Wechselstrom

  • Kennwerte: Mittelwert, Gleichrichtwert, Effektivwert ( nur für Sinus!)
  • Komplexe Rechnung: Festzeiger, kürzt sich; addieren kartesisch, multiplizieren polar
  • Impedanzen: , , — alle DC-Methoden gelten weiter
  • Leistung: , ,
  • Kompensation: Kondensator parallel,
  • Resonanz: , reell; Grenzfälle: C/L ↔ Unterbrechung/Kurzschluss

Nächstes Kapitel: Drehstrom — warum aus der Steckdose eigentlich drei Phasen kommen 🔌

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Wechselstrom: Niederspannung weltweit

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👥 Gruppenarbeit: Westinghouse vs. Edison reloaded

Mit Ihrem jetzigen Wissen über Wechselstrom und Gleichstrom, Wirkleistung und Blindleistung, diskutieren Sie in Ihrer Gruppe die Vor- und Nachteile der beiden Stromsysteme:

  • Edison 💡: Gleichstrom mit 110 V
  • Westinghouse 〜: Wechselstrom mit 110 V, auf längere Strecken transformiert auf > 1000 V

Hinweise: Leitungsverluste (inkl. Blindleistung), Sicherheit, Wirtschaftlichkeit

Zusatzfrage: Würde die Entscheidung heute anders ausfallen?

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